حلقه ها و مدول های اولیه تعمیم یافته

ابتدا با در نظر گرفتن r ‎‏ به عنوان یک حلقه ی جابجایی‏، ایده آل اولیه و حلقه ی اولیه تعمیم یافته را معرفی می کنیم و ویژگی های چنین حلقه ای را بررسی می کنیم. یک حلقه را اولیه تعمیم یافته گوییم هر گاه هر ایده آل ‏سره آن اولیه باشد. سپس تعمیم مفاهیم ایده آل اولیه و حلقه ی اولیه تعمیم یافته بر روی حلقه های ناجابجایی را مورد مطالعه قرار می دهیم. همچنین تعمیمی از حلقه ی اولیه تعمیم یافته به مدول یکانی که به صورت زیر تعریف شده است را مورد کنکاش قرار می دهیم. یک مدول یکانی را‏، مدول به طور کامل اولیه می گوییم‏، هر گاه هر زیر مدول سره از آن اولیه باشد. با این تعریف نتایجی از مدول های به طور کامل اولیه و از جمله چند تعیین هویت از مدول های به طور کامل اولیه ارائه می گردد. همچنین بعضی از حلقه هایی که روی آن ها هر مدولی به طور کامل اولیه است و نیز حلقه هایی که روی آن ها مدول های به طور کامل اولیه و وفادار وجود دارند‏، تعیین می کنیم.‎ مفاهیم‎ دیگری در مورد مدول ها از جمله ‎‎‎‎‎-k‎‎‎‏اولیه،-k ‎‎‎‏اولیه ضعیف‏، ‎‎‎‎‎-k‎‎‎‏اولیه باقیمانده ای و -kاولیه ضعیف باقیمانده ای نیز مورد مطالعه قرار می دهیم.‎‎ همچنین تعیین هویت هایی از این گونه مدول ها ارائه می دهیم.